Inhalt

Abstract:

Der Examenskurs (Hochschul-)Algebra behandelt die zentralen Themen der klassischen Algebra mit Blick auf die Prüfungsrelevanz im Bayerischen Staatsexamen für das Lehramt an Gymnasien. Gruppen-,  Ring- und Körpertheorie werden gleichrangig behandelt. Fundamentale algebraische Konzepte werden in ihren mengentheoretischen Zusammenhängen ausführlich betrachtet. Übungsaufgaben und deren Lösungen finden sich in jedem Modul in sich steigerndem Schwierigkeitsgrad.  

Der/Die Studierende des vertieften Lehramtes kennt die zentralen Aufgabenstellungen und einschlägigen algebraischen Beweismethoden und kann diese in verschiedenen Zusammenhängen anwenden. Die im Bayerischen Staatsexamen geforderte Leistungshöhe wird im Kurs aufgezeigt.

Gliederung:

1. Mengentheoretische Grundlagen
2. Definition und Konstruktion von Gruppen
3. Faktorgruppen
4. Gruppenhomomorphismen
5. Operation einer Gruppe auf einer Menge
6. Sylowsätze  
7. Definition und Konstruktion von Ringen
8. Idealtheorie
9. Polynomringe
10. Faktorielle Ringe/Irreduzibilität
11. Definition und Konstruktion von Körpern
12. Algebraische Körpererweiterungen
13. Körperisomorphismen
14. Galoisgruppe

Detaillierter Inhalt:

Nach der aktuellen bayerischen LPO I müssen alle Studierenden des Lehramtes Gymnasium Unterrichtsfach Mathematik während ihres Studiums mindestens 23  Leistungspunkte im Bereich der Fachwissenschaft Teilgebiet Lineare Algebra/Algebra/Zahlentheorie erwerben; hierbei ist das Fach Algebra verpflichtend. In einer Veranstaltung Algebra werden traditionell zentrale algebraische Objekte, wie Gruppen (Untergruppen, Faktorgruppen, Normalteiler; Gruppenhomomorphismen,...); Ringe ( Ideale, Faktorringe, Polynomringe; Ringhomomorphismen,....) sowie Körper (Erweiterungskörper, Zerfällungskörper; Galoisgruppe; endliche Körper,...) behandelt. Die Inhalte des hier beantragten Kurses "Algebra" wenden sich an alle Lehramtskandidaten im vertieften Studiengang, um die wesentlichen Begriffe der Algebra zu wiederholen und auf das schriftliche Staatsexamen "Algebra" vorzubereiten.

Die Veranstaltung hat folgende Inhalte:

Gruppentheorie:  
-Definition von Gruppe, Untergruppe; Direktes Produkt von Gruppen, Faktorgruppe
- zyklische Gruppen, Satz von Lagrange
-Gruppenhomomorphismen; Satz von Cayley; Homomorphiesatz, 1. und 2. Isomorphiesatz
-Operation von Gruppe auf Menge; Klassengleichung
-Satzgruppe von Sylow; Klassifikation kleiner endlicher Gruppen

Ringtheorie:
-Definition von Ring; Unterring; Endomorphismenring; Faktorring, Homomorphie- und Isomorphiesätze
-Definition von Idealen; insbesondere maximale Ideale und Primideale, Hauptidealringe
-Polynomringe; Einsetzhomomorphismus
-Irreduzibilitätskriterien

Körpertheorie:
-Definition von Körper; Erweiterungskörper; einfach algebraische/einfach transzendente Erweiterung, Grad der Erweiterung, Minimalpolynom eines algebraischen Elementes
-Kreisteilungskörper; Zerfällungskörper von reinen Polynomen, Zerfällungskörper von biquadratischen Polynomen
-Galoistheorie; insb. Konstruktion einer Galoisgruppe mittels Körperisomorphismusfortsetzungssatz, Hauptsatz der Galoistheorie

Lern-/Qualifikationsziele:

-

Lehrveranstaltungstyp:

Kurs

Interaktionsformen mit Betreuer/in:

E-Mail

Interaktionsformen mit Mitlernenden:

E-Mail, Foren

Kursdemo:

zur Kursdemo

Nutzung

Kurs ist konzipiert für:

Lehramt Mathematik für Gymnasium

Formale Voraussetzungen:

-

Erforderliche Vorkenntnisse:

-

Hinweise zur Nutzung:

-

Kursumsetzung (verwendete Medien):

-

Erforderliche Technik:

-

Nutzungsentgelte:

für andere Personen als (reguläre) Studenten der vhb Trägerhochschulen nach Maßgabe der Benutzungs- und Entgeltordnung der vhb

Rechte hinsichtlich des Kursmaterials:

-

Verantwortlich

Anbieterhochschule:

Uni Erlangen-Nürnberg (FAU)

Anbieter:

Prof. Dr. Thomas Weth

Prof. Dr. Jörn Steuding

Autoren:

Thomas Weth

Jörn Steuding

Betreuer:

Prof. Dr. Thomas Weth

Prüfung

Prüfungsangebot zur Lehrveranstaltung

Art der Prüfung:

Übungsaufgaben

Bemerkung:

–

Prüfer:

Prof. Dr.  Thomas Weth

Prüfungsanmeldung erforderlich:

ja

Anmeldeverfahren:

–

Prüfungsanmeldefrist:

–

Prüfungsabmeldefrist:

–

Kapazität:

–

Prüfungsdatum:

Nach Absprache mit dem Prüfer

Prüfungsdauer:

–

Prüfungsort:

–

Zuständiges Prüfungsamt:

–

Zugelassene Hilfsmittel:

–

Formale Voraussetzungen für die Prüfungsteilnahme:

–

Inhaltliche Voraussetzungen für die Prüfungsteilnahme:

–

Zertifikat:

Ja

Anerkennung:

–