Inhalt

Abstract:

Der Kurs stellt die Grundlagen bereit, die für eine erfolgreiche Teilnahme an einer Veranstaltung "Analysis" an der Universität notwendig sind. Er kann als Brückenkurs vor dem ersten Semester belegt werden, also vor der Veranstaltung "Analysis I". Er kann aber auch parallel zu dieser Veranstaltung belegt werden.  

Der Kurs wurde zusammen mit der Finnish Virtual University und Dr. Antti Rasila von der Helsinki University of Technology entwickelt. See http://math.tkk.fi/people/antti.rasila.en.html)

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The course introduces the basics of calculus, which are necessary for a successful study of a calculus lecture at the university. It can be taken as a starting course before the first semester and before the lecture "Calculus I" starts. But it can also be taken parallel to the lecture "Calculus" in the first semester.  

The course was developed together with the Finnish Virtual University and Dr. Antti Rasila from the Helsinki University of Technology. See http://math.tkk.fi/people/antti.rasila.en.html)

Gliederung:

Kapitel 1: Folgen und Grenzwerte  

1. Folgen - Grundlagen  
2. rekursive Folgen  
3. einige wichtige Folgen  
4. Divergenz, Konvergenz, Grenzwert  
5. Eigenschaften von Differenzenfolgen  
6. Aufgaben  

Kapitel 2: Funktionen
1. Funktionen - Lineare und quadratische Funktionen  
2. Potenzfunktionen, Polynome und Potenzreihen  
3. Exponentialfunktion und Wachstum  
4. Trigonometrische Funktionen  
5. Funktionen mehrerer Veränderlicher  
6. Kurven und Abbildungen

Kapitel 3: Eigenschaften von Funktionen  
1. Grenzwerte bei Funktionen  
2. Grenzwerte und Stetigkeit  
3. Eigenschaften stetiger Funktionen  
4. Übungen  

Kapitel 4: Ableitungen
1. Die Ableitung
2. Eigenschaften der Ableitung  
3. Ableitungen der trigonometrischen Funktionen  
4. Die Kettenregel
5. Die Exponentialfunktion und der Logarithmus  
6. Extremwert-Probleme  
7. Übungen

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Chapter 1: Sequences and Limits

1. Sequences - basics  
2. Recursive sequences  
3. Some important sequences  
4. Divergence, convergence, limits  
5. Characteristics of difference sequence  
6. Exercises  

Chapter 2: Functions
1. Functions - Linear and Quadratic Functions  
2. " Power functions, Polynomials and Power Series  
3. The Exponential function and Growth  
4. Trigonometric Functions  
5. Multivariable Functions  
6. Curves and Maps  

Chapter 3: Properties of Functions
1. Limit of a function  
2. Limits and Continuity  
3. Properties of Continuous Functions  
4. Exercises  

Chapter 4: Differentiation
1. The Derivative  
2. Properties of the Derivative  
3. Derivatives of Trigonometric Functions  
4. The Chain Rule  
5. The Exponential Function and the Logarithm  
6. Extremal Value Problems  
7. Exercises

Detaillierter Inhalt:

Der Kurs wurde zusammen mit der Finnish Virtual University  
und Dr. Antti Rasila von der Helsinki University of Technology entwickelt. See http://math.tkk.fi/people/antti.rasila.en.html)

Der Kurs stellt die Grundlagen bereit, die für eine erfolgreiche Teilnahme an einer Veranstaltung "Analysis" an der Universität notwendig sind. Er kann als Brückenkurs vor dem ersten Semester belegt werden, also vor der Veranstaltung "Analysis I". Er kann aber auch parallel zu dieser Veranstaltung belegt werden.  

Der Kurs beginnt mit einer Einführung in das Thema "Folgen reeller Zahlen". Es werden wichtige Eigenschaften von Folgen erarbeitet und erläutert. Der Begriff des Grenzwertes von Folgen wird in enger Beziehung zum Funktionsbegriff entwickelt.  

Im zweiten Kapitel "Funktionen" werden zentrale Eigenschaften von Funktionen aus der Schulmathematik wiederholt: lineare und quadratische Funktionen, Potenz-, Exponential- und trigonometrische Funktionen. Ihre grundlegenden Eigenschaften werden dargestellt, an Beispielen erläutert und durch verschiedene interaktive Darstellungen veranschaulicht.  

Im dritten Kapitel werden Funktionen einer reellen Variablen behandelt. Die Kursteilnehmer lernen die Definition des Grenzwertes einer Funktion, der Stetigkeit sowie trigonometrische Standardfunktionen kennen. Sie werden mit grundlegenden Beweisen im Umfeld der Stetigkeit vertraut und kennen den Zwischenwertsatz. Dieser Satz wird etwa zur Berechnung von Nullstellen von Funktionen mit der Bisektionsmethode angewandt.  

Im vierten Kapitel werden die Grundlagen des Ableitungsbegriffs gelegt und an verschiedenen Beispielen erläutert. Die Kursteilnehmer kennen die Definition der Ableitung einer Funktion und ihrer grundlegenden Eigenschaften. Sie verstehen die Bedeutung von Ableitungsregeln und können diese Regeln auf zusammengesetzte Funktionen anwenden. So werden die Ableitungsregeln für verschiedene Funktionen hergeleitet: Polynom-, rationale, trigonometrische, Exponential- und Logarithmusfunktion. Als Anwendungen werden Extremwertprobleme besprochen.  

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The course introduces the basics of calculus, which are necessary for a successful study of a calculus lecture at the university. It can be taken as a starting course before the first semester and before the lecture "Calculus I" starts. But it can also be taken parallel to the lecture "Calculus" in the first semester.  

The course starts with an introduction into the topic of sequences of real numbers. It explains the important characteristics of sequences. Through this, the student should gain a comprehensive picture of the concepts of sequences. Then the idea of limit will be briefly outlined; this idea will be developed in relation to functions.  

The second chapter revises important types of functions and some of the properties of functions learnt about in school, namely linear and quadratic functions, power functions, the exponential function and trigonometric functions. Their basic characteristics are highlighted and illustrated by means of interactive diagrams. A foretaste of analysis is then given by examining both multivariable functions and a number of mapping-equations of specific curves.  

Chapter 3 deals with functions of one real variable. The contents of this chapter include basic information required for understanding concepts of limit and continuity of a function. The information given in here is essential for understanding the theory of differentiation in the next chapter.  

Chapter 4 deals with the definition and basic properties of derivativeS. Basic differentiation formulas are proved. Differentiation rules of several classes of functions are obtained. Finally applications, e. g. extreme value problems, are done.

Lern-/Qualifikationsziele:

-

Lehrveranstaltungstyp:

Kurs

Interaktionsformen mit Betreuer/in:

E-Mail

Interaktionsformen mit Mitlernenden:

E-Mail, Foren

Kursdemo:

zur Kursdemo

Nutzung

Kurs ist konzipiert für:

Mathematik

Formale Voraussetzungen:

Keine

Erforderliche Vorkenntnisse:

Schulabschluss

Hinweise zur Nutzung:

-

Kursumsetzung (verwendete Medien):

-

Erforderliche Technik:

-

Nutzungsentgelte:

für andere Personen als (reguläre) Studenten der vhb Trägerhochschulen nach Maßgabe der Benutzungs- und Entgeltordnung der vhb

Rechte hinsichtlich des Kursmaterials:

-

Verantwortlich

Anbieterhochschule:

Uni Würzburg

Anbieter:

Prof. Dr. Hans-Georg Weigand

Prof. Dr. Thomas Weth

Autoren:

Hans-Georg Weigand

Thomas Weth

Antti Rasila

Betreuer:

Prof. Dr. Hans-Georg Weigand

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